2023考研線性代數各部分重要知識點盤點!

最后更新時間:2022-02-07 10:44:34
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  過完年了,23的考研er也該抖抖精神開始復習數學,為以后打好基礎。線性代數是2023考研數學復習的重要部分,建議考研數學基礎不好的小伙伴早點開始復習,下面小編整理了2023考研線性代數各部分重要知識點,一起來看看吧。

  一、行列式與矩陣

  行列式、矩陣是線性代數中的基礎章節,從命題人的角度來看,可以像潤滑油一般結合其它章節出題,因此必須熟練掌握。

  行列式的核心內容是求行列式––具體行列式的計算和抽象行列式的計算。其中具體行列式的計算又有低階和高階兩種類型,主要方法是應用行列式的性質及按行(列)展開定理化為上下三角行列式求解而對于抽象行列式而言,考點不在如何求行列式,而在于結合后面章節內容的比較綜合的題。

  矩陣部分出題很靈活,頻繁出現的知識點包括矩陣各種運算律、矩陣相關的重要公式、矩陣可逆的判定及求逆、矩陣的秩的性質、初等矩陣的性質等。

  二、向量與線性方程組

  向量與線性方程組是整個線性代數部分的核心內容。相比之下,行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問題而做鋪墊的基礎性章節,而其后兩章特征值和特征向量、二次型的內容則相對獨立,可以看作是對核心內容的擴展。

  向量與線性方程組的內容聯系很密切,很多知識點相互之間都有或明或暗的相關性。復習這兩部分內容最有效的方法就是徹底理順諸多知識點之間的內在聯系,因為這樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解,同時也是熟練掌握和靈活運用的前提。

  這部分的重要考點一是線性方程組所具有的兩種形式––矩陣形式和向量形式二是線性方程組與向量以及其它章節的各種內在聯系。

  (1)齊次線性方程組與向量線性相關、無關的聯系

  齊次線性方程組可以直接看出一定有解,因為當變量都為零時等式一定成立––印證了向量部分的一條性質“零向量可由任何向量線性表示”。

  齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況:①有唯一零解②有非零解。當齊次線性方程組有唯一零解時,是指等式中的變量只能全為零才能使等式成立,而當齊次線性方程組有非零解時,存在不全為零的變量使上式成立但向量部分中判斷向量組是否線性相關、無關的定義也正是由這個等式出發的。故向量與線性方程組在此又產生了聯系––齊次線性方程組是否有非零解對應于系數矩陣的列向量組是否線性相關??梢栽O想線性相關、無關的概念就是為了更好地討論線性方程組問題而提出的。

  (2)齊次線性方程組的解與秩和極大無關組的聯系

  同樣可以認為秩是為了更好地討論線性相關和線性無關而引入的。秩的定義是“極大線性無關組中的向量個數”。經過 “秩&rarr線性相關、無關&rarr線性方程組解的判定”的邏輯鏈條,就可以判定列向量組線性相關時,齊次線性方程組有非零解,且齊次線性方程組的解向量可以經過r個線性無關的解向量(基礎解系)線性表示。

  (3)非齊次線性方程組與線性表示的聯系

  非齊次線性方程組是否有解對應于向量是否可由列向量組線性表示,使等式成立的一組數就是非齊次線性方程組的解。

  三、特征值與特征向量

  相對于前兩章來說,本章不是線性代數這門課的理論重點,但卻是一個考試重點。其原因是解決相關題目要用到線代中的大量內容––既有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關性,“牽一發而動全身”。

  本章知識要點如下:

  1. 特征值和特征向量的定義及計算方法就是記牢一系列公式和性質。

  2. 相似矩陣及其性質,需要區分矩陣的相似、等價與合同:

  3. 矩陣可相似對角化的條件,包括兩個充要條件和兩個充分條件。充要條件一是n階矩陣有n個線性無關的特征值二是任意r重特征根對應有r個線性無關的特征向量。

  4. 實對稱矩陣及其相似對角化,n階實對稱矩陣必可正交相似于以其特征值為對角元素的對角陣。

  四、二次型

  這部分所講的內容從根本上講是特征值和特征向量的一個延伸,因為化二次型為標準型的核心知識為“對于實對稱矩陣,必存在正交矩陣 使其可以相似對角化”,其過程就是上一章相似對角化在為實對稱矩陣時的應用。

  本章知識要點如下:

  1. 二次型及其矩陣表示。

  2. 用正交變換化二次型為標準型。

  3. 正負定二次型的判斷與證明。

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